İleri Seviyede Bilgi Paylaşımı!

Arkadaşlar önceden
paradokslar hakkın bilgi vermiş ve sonradan paradokslara giriş yapmıştık.. Konu
hakkında bilgisi olmayan arkadaşlar olabilir alttaki bağlantılardan paradoksları
takip edebilirler..

http://blog.siniftakal.net/matematik/paradokslara-giris/

http://blog.siniftakal.net/matematik/nedir-su-paradokslar/

  Noktayı boyutlu kabul edelim.  Karşımıza bir paradoks daha çıkar;
doğru parçasında sonsuz adet nokta olduğuna göre doğru parçasının da uzunluğu
sonsuz olmalıdır. Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir şeyden sonsuz adedi
yanyana gelirse sonsuz uzunluk olur.

      
2+2=5 
¿?

X = Y
  …………………………………………olsun
 

  X² = X.Y……………………………………..eşitliğin
  her iki tarafını ‘X‘ ile çarptık.
 

  X² - Y² = XY - Y²…………………………her
  iki taraftan ‘Y²‘ çıkardık.

  (X + Y).(X - Y) = Y.( X-Y )……………sol
  tarafı çarpanlara ayırdık, sağ tarafı ‘Y‘ parantezine aldık.
 

  ( X + Y ) = Y……………………………….(
  X - Y )‘ler sadeleşti.

  X + X = X…………………………………...X
  = Y olduğundan,

  2.X = X……………………………………….’X‘
  leri topladık.

  2 = 1
  …………………………………………’X‘ ler
  sadeleşti.

  3 + 2 = 1 + 3………………………………her
  iki tarafa ‘3‘ ilâve ettik.

  5 = 4…………………………………………..buradan,
 

  5 = 2 + 2…………………………………’4‘ü,
  ‘2+2‘  şeklinde yazdık.  HATA NEREDE?

 

      
Cantor
Paradoksu:

         
George Cantor’a göre bir kümenin alt kümelerinin eleman sayısı, asıl kümeden
daha fazladır. Ancak bu kaide, “Bütün kümelerin kümesi” için de geçerli midir?

“Bütün kümelerin kümesi”, X
olsun. Öyle ise her alt kümesi kendisinin elemanıdır. X’in “Alt kümeleri kümesi”
de X’in alt kümesidir. Yani:

2ª
Ì
X   (2 üzeri a,
alt küme X)  dir. Buradan şunu yazabiliriz:

card(2ª) 

card(a)…………….1

Çünkü alt kümelerin
kardinali asıl kümelerden küçüktür veya eşittir. Ancak Cantor Teoremine göre:

card(2ª) > card(a)……………….2

olmalıdır. 1 ve 2
çelişmektedir.

 

     
Karışım
Paradoksu:

         
Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var. Bir kaşık sütten alıyoruz ve
kahve fincanına döküyoruz. İyice karıştırıp oradan da bir kaşık alıyoruz ve süte
döküyoruz. Şimdi sorumuz geliyor:

         
Kahvedeki
süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladır?

         
Cevap şaşırtıcı gelebilir ama karışım oranları eşittir. İşte ispatı:

         
Kabul edelim ki karışımımız homojen olmasın. Meselâ kahveye kattığımız süt,
tamamen dibe çöksün. Kahveden aldığımız miktar tabi ki sütten aldığımıza eşit
olacaktır. Veya:

         
İlk karışımdan sonra kaşığımızın yarısı süt, yarısı da kahve olsun. Bu sefer
yine sütte yarım kaşık kahve, kahvede yarım kaşık süt bulunacaktır. Veya:

         
İlk karışım homojen olsun. Aldığımız bir kaşık karışımın % 90 ını kahve, % 10
unu süt kabul edelim. Sütün % 90 ı kahvede kalmıştır. Sonuçta eksilen sütün
yerini kahve dolduracağından karışım oranları eşit olur.

 

       
Bütün
Sayılar Eşittir Paradoksu:

          
a ve b birbirinden farklı herhangi iki tamsayı ve
c de bunların farkı olsun:

a-b=c

  (a-b)(a-b)=c.(a-b)…………………………her
  iki tarafı (a-b) ile çarptık.

  a²-2ab+b²=ac-bc………………………….parantezleri
  açtık.

  a²-2ab+b²-ac=-bc………………………..ac
  yi sol tarafa attık.

  a²-2ab-ac=-bc-b²………………………….b²
  yi sağ tarafa attık.

  a²-ab-ac=ab-bc-b²………………………..2ab
  nin birini sağ tarafa geçirdik.

  a(a-b-c)=b(a-b-c)…………………………a
  ve b parantezine aldık.

  a=b…………………………………………….(a-b-c)
  ler sadeleşti.  (2+2=5 Paradoksunun benzeri)

 

        
Karışık
Bir Hesap:

             
İki çocuk ayrı ayrı kalem satmaktadırlar. Her ikisinin de 30′ar tane kalemi
vardır. Biri, 3 kalemi 10 TL’ye; diğeri de
2 kalemi 10 TL’ye vermektedir. İlki 30 kalemden 100
TL, diğeri de 150 TL kazanır. ( Toplam 250 TL.) Ertesi gün yine 30′ar kalemle
evlerinden çıkarlar. Yolda karşılaştıklarında biri diğerine der ki:

-”Gel seninle ortak olalım.
60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini
20 (10+10)TL’ye satalım. Kazandığımız parayı da paylaşırız.
Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanırlar. Yani:

5
Kalem……………20 TL ise

60 Kalem…………..x TL’dir.   
Buradan;

x=(60.20)/5= 240 TL

Çocuklar,
ayrı ayrı satış yaptıklarında toplam 250 TL kazanıyorlardı. Beraber
sattıklarında neden 10 TL zarar ettiler?

 

  1
  kg = 1 ton ¿?

  1 kg = 1000 gr………….(1)

  2 kg
  = 2000 gr………….(2)

  (1) ve (2) çarpılırsa:

2 kg = 2.000.000
  gr

  2 kg = 2.000 kg………….(2.000.000 gr
  = 2.000 kg)

  2 kg = 2 ton………………(2.000 kg =
  2 ton).  Dolayısı
  ile,

  1 kg = 1 ton

 

  Hempel
  Paradoksu:

         
Carl Hempel’e göre “Bütün kuzgunlar siyahtır!“

         
Bu önermeyi iki şekilde ispatlayabiliriz:

a) Çok sayıda kuzgun
  görüp, hepsinin de siyah olduğunu tesbit ederek,

  b) Siyah olmayan şeylerin, aynı zamanda
  kuzgun da olmadığını görerek.

         
Bilinen şu ki çok sayıda siyah kuzgun ve yine çok sayıda siyah olmayan, aynı
zamanda kuzgun da olmayan cisim vardır. Siyah olmayan tüm cisimler incelenmeden
bu fikre varamayız. Kırmızı cisimler için bu uygulama yapılmamışsa “bazı
kuzgunlar kırmızı ” da olabilir. Bu sebeplerden Hempel paradoksu, “Tümevarım” ın
itibarını sarsmıştır.

 

  Arnauld
  Paradoksu:

Herkes bilir ki;

• (Büyük Sayı / Küçük
    Sayı) ¹
    (Küçük Sayı / Büyük Sayı) dır.
  
    (5 / 2)
    ¹
    (2 / 5) gibi

Ancak negatif sayılar bu
  kuralı bozar:

  (3 / -3) = (-3 / 3)

Ayrıca;

• (Büyük Sayı / Küçük
    Sayı) > 1 dir.
  
    (4 / 3) > 1 gibi

Yine negatif sayılar için
  kural ihlâl edilir:

  (3 / -1) < 1

Bu durum, matematikçi
  Arnauld’a mantıksız geldiği için negatif sayıların olmadığına hükmetti.

  Galileo
  Paradoksu:

Sonsuzlukla ilgili bir paradoks:

         
Yukarıda ilk sırada pozitif tamsayılar, altında iki katları, en altta da
kareleri var. İlk seri sonsuz olduğuna göre diğer seriler de sonsuz elemanlı.
Ayrıca ilave olarak sayıların küplerini, üç katlarını, on katlarını, yarılarını,
üçtebirlerini de yazabiliriz. Hiçbir sonsuz da birbirine eşit değil.

  Euplides
  (Kum Yığını) Paradoksu:

         
Euplides, hiçbir zaman bir “kum yığını” oluşturulamayacağını iddia etmiştir.
Çünkü bir kum tanesi, “yığın” değildir. Yanına bir tane daha koyarsak yine yığın
oluşmaz. “Kum yığını” olmayan bir şeyin yanına (veya üzerine) kum tanesi
koymakla yığın elde edemeyeceğimize göre Hiçbir zaman “kum yığını”
oluşturamayız.

         
Daha açık bir deyişle: Kabul edelim ki birer birer kum tanelerini biraraya
getirelim. Hangi merhaleden sonra kumlar “yığın” oluşturur? Diyelim ki ‘bir
milyon’ adet kum tanesi, bir yığın oluştursun. Dokuzyüz doksandokuzbin dokuzyüz
doksandokuzu “kum yığını” kabul edilmeyecek mi? Edersek “1″ eksiği de yığın
olmaz mı? Yani hangi aşama bizim için “yığın” anlamına gelir?

  -1=1
  ¿?

 

  Berber
  Paradoksu: 

         
Klasik paradokslardan biri daha:

         
Bir
berber, bulunduğu köydeki erkeklerden, yalnızca kendi kendini traş
edemeyen erkekleri traş ediyor. Berberi kim traş edecek?

          Kendi
kendine traş olsa;  kendisini traş edebildiği için  tanıma ters
düşecek. Başkası traş etse; o kişi kendi kendine de traş olabiliyor demektir. (bkz
Russel Paradoksu)

  Russel
  Paradoksu:

1970 yılında 98 yaşında ölen Bertrand RUSSEL’ın çok
  bilinen paradoksu:

“Bir odada papa ve ben varım. Odada kaç kişiyiz?”  
  Cevap:

  “Bir kişiyiz. Çünkü ben, aynı zamanda
  papayım”

Russel’ın “Kümeler” Paradoksu:

Russel’a göre iki çeşit küme var:

a) Kendisinin elemanı olan(ihtiva eden) kümeler.
 

  b) Kendisinin elemanı olmayan kümeler.  

Şimdi, “Kendisinin elemanı olmayan kümeler”in kümesine
  ‘X’ diyelim. X, kendisinin elemanı mıdır?

Matematiğin Sırları:

  p
  (pi) Sayısı:

         
Kısaca bir dairenin çevresinin çapına oranı,
p sayısını verir. İnsanoğlu, aslında
çok önemli vazifeleri olan bu sayı üzerinde çok düşünmüştür. Yıllarca tam olarak
bir değer bulamamakla beraber, gerçek değerine en yakın sonuçları kullanabilmek
için çaba sarfetmişlerdir.

         
p‘ nin kronolojik gelişimine
baktığımızda günümüzde dahi tam bir sonuç bulunamamıştır. Çeşitli formüller
üretilmesine rağmen sadece her seferinde gerçek değere biraz daha
yaklaşılmıştır.

         
Arşimet  3.1/7 ile 3.10/71 arasında bir sayı olarak hesapladı. Mısırlılar
3.1605, Babilliler 3.1/8, Batlamyus 3.14166 olarak kullandı. İtalyan Lazzarini
3.1415929, Fibonacci ise 3.141818 ile işlem yapıyordu. 18.yyda 140, 19yyda 500
basamağa kadar hesaplandı. İlk bilgisayarlarla 2035 basamağı hesaplanırken
günümüzde milyonlarca basamağa kadar çıkılıyor. İşin ilginç tarafı, hâlâ tam bir
sonuç yok. Herhangi bir yerinde devir olsa iş yine kolaylaşacak. Ama henüz öyle
bir şeye de rastlanmadı. Şu anda bilinen değerden birkaç basamak:

p=3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640

628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940

81284811174502841027…..

  İlginç
  Sayılar(1):

3² + 4² = 5²

10² + 11² + 12² = 13² + 14²

21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²

36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²

.

.

    .    

  Fermat’ın
  Son Teoremi:

          
Mesleği Avukatlık olan Fermat, arada bir matematikle de ilgilenirdi. Ama ne
ilgilenmek. Aşağıdaki teorem, onun eseri. 1665 yılında 64 yaşında ölen Fermat’ın
aşağıdaki teoremi, hâlâ ispatlanamadı. Bu problem üzerinde yıllarca çalışan ünlü
alman matematikçi  Wolfskehl, 1908 yılında öldüğünde, vasiyet olarak 100bin
mark bıraktı. Hem de bu problemi yüzyıl içinde çözecek ilk kişiye verilmek
üzere!

Teorem şöyle:

  n>2
  ve a, b ve c tamsayı olmak üzere

  aⁿ + bⁿ= cⁿ
     çözümü olmadığını ispatlayın.

         
Fermat bu teoremi yazarken kullandığı kağıdın altında çok az yer kaldığı için
cevabı yazamadığını, halbuki çok güzel bir ispatı olduğunu yazmıştır. (Belki 
Fermat ta cevabı bilmiyordu:))

Bir hatırlatma: Eğer
rastgele n=54179653 sayısını formüle uygulayıp eşitliği sağlamadığını
göstermediyseniz, bu sayının hâlâ doğru olma şansı var demektir.

 

  İlginç
  Sayılar(2):

         
Üç basamaklı herhangi bir sayıyı  iki kere yanyana yazarak elde ettiğimiz
yeni sayı, kesinlikle 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001 sayılarına kalansız
olarak bölünür(neden?).

Örnek: 831831

831831 / 7      
  = 118833

  831831 / 11     =
  75621

  831831 / 13     =
  63987

  831831 / 77     =
  10803

  831831 / 91     =
  9141

  831831 / 143   = 5817

  831831 / 1001 = 831

 

  Sihirli
  Kareler:

3 x 3: Birbirini yatay,
dikey ve çapraz takip eden   üç karenin toplamı, 15.

 

8	1	6
3	5	7
4	9	2

4 x 4:
Birbirini yatay, dikey ve çapraz takip eden  dört
karenin toplamı, 34.

 

16	2	3	13
5	11	10	8
9	7	6	12
4	14	15	1

5 x 5: Birbirini yatay,
dikey ve çapraz takip eden beş karenin toplamı, 65.

 

3	16	9	22	15
20	8	21	14	2
7	25	13	1	19
24	12	5	18	6
11	4	17	10	23

 

  İlginç
  Sayılar(3):

1 x 8 + 1 = 9

12 x 8 + 2 = 98

123 x 8 + 3 = 987

1234 x 8 + 4 = 9876

12345 x 8 + 5 = 98765

123456 x 8 + 6 = 987654

1234567 x 8 + 7 = 9876543

12345678 x 8 + 8 = 98765432

123456789 x 8 + 9 = 987654321

 

  Teorem:

Bütün kare sayılar, 1′den
başlamak üzere sırasıyla tek tamsayıların toplamı olarak yazılabilir.

Örnekler:

5²=25

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

11² = 121

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 +
21 = 121

  Üçgen
  Sayılar:

1′den başlamak üzere kendisinden önceki
  tüm sayıların toplamına karşılık gelen sayıların dizisidir.
 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,
  … pozitif doğal sayılar ise, üçgen sayılar:

1, 3(1+2), 6(1+2+3), 10(1+2+3+4),
  15(1+2+3+4+5),… üçgen sayılardır. Yani:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36,
  45, 55…

  Pascal
  Üçgeni:

         
Pascal üçgeni, şekilde de görüldüğü gibi kenarlarda “1″ olmak üzere her sayı,
üstündeki iki sayının toplamı olarak yazılacak şekilde oluşturulur.

 

 

Pascal üçgeninin bazı özellikleri:  

• Kenarlar “1″den oluşur
• ikinci(kırmızı) sıra, pozitif tamsayılar serisidir.
• Üçüncü(mavi) sıra, üçgen sayılardır. (1, 3, 6, 10
    15,…)
• Aynı yöndeki sayıların(sarı) toplamı, seçtiğimiz son
    sayının ters yönündeki sayıya eşittir.

    (Örnek: 1+2+3+4+5+6+7=28, 1+4+10+20+35=70 gibi)  

• Her sıradaki sayıların toplamı, ’sıfır’dan başlamak
    üzere “2″nin üslerini verir. 2⁰, 2¹, 2², 2³
    ,2⁴ ,…

    (Örnek: 5. sıradaki sayıların toplamı, 1+4+6+4+1=16=2⁴
    )

• Her sıra, yine ’sıfır’dan başlamak üzere kendi
    derecesinden bir polinomun katsayılarını verir.

    ( Örnek: (a+b)³=1a³+3ab²+3a²b+1b³)  

  Teorem:

Bütün sayılar 2′nin üsleri toplamı
(tekrarsız) olarak yazılabilir.

Örnekler:

12 =
  2³ + 2²

  12 = 8 + 4

45 =
  2⁵ + 2³ + 2² + 2⁰

  45 = 32 + 8 + 4 + 1

  İlginç
  Sayılar(4):

12 x 42 = 21 x 24

  23 x 96 = 32 x 69

  24 x 84 = 42 x 48
 

  13 x 62 = 31 x 26

  46 x 96 = 64 x 69

 

  Fibonacci
  Dizisi:

1′den başlamak üzere
  kendisinden önceki iki sayının toplamına karşılık gelen sayıların dizisidir.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
  …ise, fibonacci dizisi:

1, 1(0+1), 2(1+1), 3(1+2),
  5(2+3), 8(3+5), 13(5+8),… yani:

1, 2, 3, 5, 8, 13,
  21, 34, 55…

  Fibonacci
  dizisinin kullanıldığı pekçok yerden biri de “Karışık
  Paradokslar“daki üçgenli ve kareli sorulardır.

  İlginç
  Sayılar(5):

3 x 37 = 111

6 x 37 = 222

9 x 37 = 333

12 x 37= 444

15 x 37 = 555

18 x 37 = 666

21 x 37 = 777

24 x 37 = 888

27 x 37 = 999

  e
  Sayısı:

1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) +
  (1/4!) + … + (1/n!) serisinin toplamı “e” sayısını
  verir. Yaklaşık değeri:

e = 2.71828182…dir.
  (e sabit sayısının kullanıldığı yerler ayrıca anlatılacaktır)

 
  (Sonsuz):

         
¥, sadece matematikçilerin
değil, düşünen herkesin ilgisini ve merakını çekmiştir.
¥‘u
sayı olarak düşünürsek; aklımızı zorlayıp “en büyük sayı”ya ulaştığımızı kabul
edelim. O sayının mutlaka 1 fazlası olacağından yeni sayılar elde ederiz.

         
Meselâ sayı doğrusunda 0 ile 1 arasında sonsuz adet reel sayı vardır. 0 ile 10
arasında da sonsuz adet sayı olduğuna göre bu iki sonsuz da birbirine eşit
olamaz. Bu yüzden matematikte “¥/¥”
ifadesi tanımsızdır. Aynı şekilde 1^¥
ifadesi de henüz tanımlanamamıştır. Hâlbuki
1′in tüm üsleri 1′ eşit olmalıdır.

         
Kâinatta
kaç adet “atom” olduğu sorulsa kaç derdiniz? Herhalde aklınıza gelebilecek en
büyük sayıyı söylersiniz. Sizce 10⁷³
nasıl bir sayı? Büyük bir ihtimalle sizin tahmininizden küçük. Ama tüm
kâinattaki gezegenlerin, yıldızların, asteroidlerin … atom sayısı işte bu
kadar. (Araştırmalar sonucundaki tahmini sayı).

  Kâinatın
  sonu neresi? Herhalde kâinat da bir yerde bulunuyor. Ayrıca genişlediği (şişen
  bir balon gibi) ilmî bir gerçek. Nerede, neyin içinde, nereleri kaplayarak
  genişliyor? Bundan sonrası ancak tahmin edilebilir. Şimdilik bunlar sır.

         
Şimdi
¥‘un
ne kadar büyük olduğu daha iyi anlaşılıyor (veya anlaşılamıyor:)) değil mi?

 

  İlginç
  Sayılar(6):

(0 x 9) + 8 = 8 

  (9 x 9) + 7 = 88

  (98 x 9) + 6 = 888

  (987 x 9) + 5 = 8888

  (9876 x 9) + 4 = 88888

  (98765 x 9) + 3 = 888888

  (987654 x 9) + 2 = 8888888

  (9876543 x 9) + 1 = 88888888

  (98765432 x 9) + 0 = 888888888

  (987654321 x 9) - 1 = 8888888888

Kaynak :

http://www.siniftakal.net/paradokslar